Отца Борисбийя Азретовича ожидала блестящая карьера, но в 1938 году он был арестован по ложному доносу. Пять лет спустя в ссылку отправилась вся семья
Родился в 20 февраля 1933 года в селе Учкекен Малокарачаевского района Карачаевской автономной области. В семье было трое детей. Мать — Зурум Ибрагимовна — работала в совхозе. Отец — Азрет Курманбиевич — был членом партии, участвовал в организации первого в области колхоза, был награждён Орденом «Знак почёта» и направлен в Москву, в Тимирязевскую академию на обучение. В 1938 году он был арестован по ложному доносу, обвинен в контрреволюционной деятельности и приговорён к пяти годам заключения. Срок отбывал в тюрьме в Ворошиловске (Ставрополь). Скончался в заключении в годы войны.
В 1943 году Борисбий Азретович, вместе с семьёй, был выслана в Казахскую ССР, в Южно-Казахстанскую область, в Саранский район, в село Белые воды. В ссылке мать работала в колхозе, Борисбий Азретович учился в школе. В 1955 году поступил в сельскохозяйственный институт в городе Фрунзе.
В 1957 году семья Джаммаевых вернулась на родину. Борисбий Азретович перевёлся в ставропольский сельскохозяйственный институт. После окончания начал работать в совхозе «Октябрьский» (Прикубанский район Карачаево-Черкесской автономной области), был зоотехником отделения, затем управляющим, после окончания школы руководящих кадров в Новочеркасске, был назначен заместителем директора совхоза.
Азрет Курманбиевич Джаммаеев был реабилитирован в 1961 году.